Решение:
1. Начнем с неравенства: 2x² — 7x + 3 >= 0.
2. Для решения неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения: 2x² — 7x + 3 = 0.
3. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b² — 4ac)) / (2a), где a = 2, b = -7, c = 3.
4. Подставим значения a, b и c в формулу:
D = b² — 4ac = (-7)² — 4 * 2 * 3 = 49 — 24 = 25.
5. Так как дискриминант D > 0, у уравнения есть два различных корня. Найдем их:
x1 = (7 + √25) / (2 * 2) = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3.
x2 = (7 — √25) / (2 * 2) = (7 — 5) / 4 = 2 / 4 = 0.5.
6. Теперь у нас есть корни x1 = 3 и x2 = 0.5.
7. Далее, мы можем разбить числовую ось на интервалы, используя найденные корни: (-∞, 0.5), (0.5, 3), (3, +∞).
8. Теперь проверим знак выражения 2x² — 7x + 3 на каждом из этих интервалов.
— Для интервала (-∞, 0.5) возьмем, например, x = 0:
2(0)² — 7(0) + 3 = 3 > 0. Значит, на этом интервале выражение положительно.
— Для интервала (0.5, 3) возьмем, например, x = 1:
2(1)² — 7(1) + 3 = 2 — 7 + 3 = -2 < 0. Значит, на этом интервале выражение отрицательно.
- Для интервала (3, +∞) возьмем, например, x = 4:
2(4)² - 7(4) + 3 = 32 - 28 + 3 = 7 > 0. Значит, на этом интервале выражение положительно.
9. Теперь мы знаем, что:
— На интервале (-∞, 0.5) выражение положительно.
— На интервале (0.5, 3) выражение отрицательно.
— На интервале (3, +∞) выражение положительно.
10. Неравенство 2x² — 7x + 3 >= 0 выполняется на интервалах (-∞, 0.5] и [3, +∞).
11. Записываем окончательный ответ: x ∈ (-∞, 0.5] ∪ [3, +∞).