Решение:
1. Начнем с уравнения: 5 sin²x — 9 cos x — 3 = 0
2. Используем тождество sin²x = 1 — cos²x. Подставим его в уравнение:
5(1 — cos²x) — 9 cos x — 3 = 0
3. Раскроем скобки:
5 — 5 cos²x — 9 cos x — 3 = 0
4. Упростим уравнение:
-5 cos²x — 9 cos x + 2 = 0
5. Умножим на -1:
5 cos²x + 9 cos x — 2 = 0
6. Используем формулу дискриминанта D = b² — 4ac, где a = 5, b = 9, c = -2:
D = 9² — 4 * 5 * (-2) = 81 + 40 = 121
7. Найдем корни через формулу корней квадратного уравнения:
cos x = (-b ± √D) / (2a) = (-9 ± √121) / (10)
cos x = (-9 ± 11) / 10
8. Находим два значения:
cos x₁ = (2) / 10 = 0.2
cos x₂ = (-20) / 10 = -2 (не имеет решений, так как cos x не может быть меньше -1)
9. Решаем уравнение cos x = 0.2:
x = arccos(0.2) + 2kπ и x = -arccos(0.2) + 2kπ, где k – любое целое число.
10. Находим арккосинус:
x₁ ≈ 1.36944 + 2kπ
x₂ ≈ -1.36944 + 2kπ
Ответ: x = 1.36944 + 2kπ, x = -1.36944 + 2kπ, k ∈ Z.