Решение:
1. Начнем с уравнения: cos^2 x + 3sin x + 3 = 0.
2. Используем тригонометрическую идентичность: cos^2 x = 1 — sin^2 x. Подставим это в уравнение:
1 — sin^2 x + 3sin x + 3 = 0.
3. Упростим уравнение:
-sin^2 x + 3sin x + 4 = 0.
4. Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:
sin^2 x — 3sin x — 4 = 0.
5. Теперь решим квадратное уравнение sin^2 x — 3sin x — 4 = 0 с помощью формулы корней:
sin x = (3 ± √(3^2 — 4 * 1 * (-4))) / (2 * 1).
6. Вычислим дискриминант:
D = 3^2 — 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.
7. Найдем корни:
sin x = (3 ± √25) / 2 = (3 ± 5) / 2.
Это дает два значения:
sin x = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4 и sin x = (3 — 5) / 2 = -2 / 2 = -1.
8. Значение sin x = 4 не имеет решения, так как синус не может превышать 1.
9. Значение sin x = -1 имеет решение:
x = 3π/2 + 2kπ, где k — целое число.
10. Таким образом, окончательное решение:
x = 3π/2 + 2kπ, k ∈ Z.