Решение:
1. Начнем с уравнения: cos 2x + cos x = 0.
2. Используем формулу для косинуса двойного угла: cos 2x = 2cos^2 x — 1.
3. Подставим это в уравнение: 2cos^2 x — 1 + cos x = 0.
4. Приведем уравнение к стандартному виду: 2cos^2 x + cos x — 1 = 0.
5. Обозначим cos x как y. Тогда уравнение примет вид: 2y^2 + y — 1 = 0.
6. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9.
7. Найдем корни уравнения: y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5; y2 = (-b — sqrt(D)) / (2a) = (-1 — 3) / 4 = -4 / 4 = -1.
8. Теперь вернемся к cos x: cos x = 0.5 и cos x = -1.
9. Найдем значения x для cos x = 0.5: x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k — целое число.
10. Найдем значения x для cos x = -1: x = π + 2kπ, где k — целое число.
11. Таким образом, окончательные решения: x = π/3 + 2kπ, x = 5π/3 + 2kπ, x = π + 2kπ.