Доказательство:
Заметим, что 0.5 = 1/2 и 0.25 = 1/4. Тогда первое слагаемое можно записать так:
(2a – 1/2) / (4a² + a + 1/4).
Найдём общий знаменатель в нижней дроби. Умножим числитель и знаменатель на 4: 4a² + a + 1/4 = (16a² + 4a + 1)/4.
Следовательно, (2a – 1/2) / (4a² + a + 1/4) = (2a – 1/2) / [(16a² + 4a + 1)/4] = 4(2a – 1/2)/(16a² + 4a + 1).
Рассмотрим второе слагаемое. Заметим, что 64a³ – 1 – это разность кубов. Действительно, 64a³ – 1 = (4a)³ – 1³. По формуле разности кубов: X³ – Y³ = (X – Y)(X² + X·Y + Y²), при X = 4a и Y = 1 получаем: 64a³ – 1 = (4a – 1) · (16a² + 4a + 1).
Таким образом, 24a / (64a³ – 1) = 24a / [ (4a – 1)(16a² + 4a + 1) ].
Третье слагаемое: 1/(2a – 0.5) = 1/(2a – 1/2) = 2/(4a – 1).
Обозначим через M = 16a² + 4a + 1. Тогда все три слагаемых можно записать так:
I = 4(2a – 1/2)/M. Но 4(2a – 1/2) = 8a – 2 = 2(4a – 1), поэтому I = 2(4a – 1)/M.
II = 24a / [ (4a – 1)·M ].
III = 2/(4a – 1).
Таким образом, сумма внутри больших скобок равна
S = I + II + III = [2(4a – 1)/M] + [24a/( (4a – 1)·M)] + [2/(4a – 1)].
Чтобы сложить первые две дроби, приведём их к общему знаменателю (4a – 1)·M: 2(4a – 1)/M = [2(4a – 1)²] / [ (4a – 1)·M ]. Тогда
S = { 2(4a – 1)² + 24a } / [ (4a – 1)·M ] + 2/(4a – 1).
Приведём и вторую дробь к общему знаменателю (4a – 1)·M, умножив её числитель и знаменатель на M: 2/(4a – 1) = 2M / [ (4a – 1)·M ].
Таким образом, S = { 2(4a – 1)² + 24a + 2M } / [ (4a – 1)·M ].
Вычислим числитель. Сначала разложим (4a – 1)²: (4a – 1)² = 16a² – 8a + 1. Умножая на 2 получим: 2(4a – 1)² = 32a² – 16a + 2. Прибавляем 24a: 32a² – 16a + 2 + 24a = 32a² + 8a + 2. Прибавляем 2M, где M = 16a² + 4a + 1: 32a² + 8a + 2 + 2(16a² + 4a + 1) = 32a² + 8a + 2 + 32a² + 8a + 2 = 64a² + 16a + 4. Заметим, что 64a² + 16a + 4 = 4 · (16a² + 4a + 1) = 4M.
Итак, сумма S равна S = [4M] / [ (4a – 1)·M ] = 4/(4a – 1).
Теперь возвращаемся к исходному выражению. Оно равно S, умноженной на (4a – 1)/4: E = S · (4a – 1)/4 = [4/(4a – 1)] · [(4a – 1)/4] = 1.
Вывод:
При b = 1 доказано, что
[ (2a – 0.5)/(4a² + a + 0.25) + 24a/(64a³ – 1) + 1/(2a – 0.5) ] · (4a – 1)/4 = 1.
Это и требовалось доказать.