Решение:
1. Дана функция f(x) = 3x² — x³.
2. Найдем производную функции f(x) для нахождения критических точек: f'(x) = 6x — 3x².
3. Приравняем производную к нулю: 6x — 3x² = 0.
4. Вынесем общий множитель: 3x(2 — x) = 0.
5. Найдем корни уравнения: 3x = 0 или 2 — x = 0. Это дает x = 0 и x = 2.
6. Теперь определим, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом, используя второй производной: f»(x) = 6 — 6x.
7. Подставим x = 0 в f»(x): f»(0) = 6 — 6*0 = 6 (положительное значение, значит, x = 0 — минимум).
8. Подставим x = 2 в f»(x): f»(2) = 6 — 6*2 = -6 (отрицательное значение, значит, x = 2 — максимум).
9. Таким образом, функция имеет минимум в точке x = 0 и максимум в точке x = 2.