Решение:
1. Обозначим стороны треугольника: пусть ( a ) — сторона, к которой проведена медиана (длиной 6), ( b ) — сторона, к которой проведена биссектрисса, ( c ) — третья сторона.
2. По условию, ( b = c + 3 ).
3. Так как медиана и биссектрисса пересекаются под углом 90 градусов, используем теорему о биссектрисе и медиане.
4. Из этих условий выводим систему уравнений:
— ( a^2 = frac{2b^2 + 2c^2 — m^2}{4} )
— где ( m ) — длина медианы.
5. Подставляем известные значения:
— ( 6^2 = frac{2b^2 + 2c^2 — m^2}{4} )
— ( 36 = frac{2b^2 + 2c^2 — m^2}{4} )
6. Заменяем ( b ) на ( c + 3 ) и получаем ( 36 = frac{2(c + 3)^2 + 2c^2 — m^2}{4} ).
7. Перемножаем на 4: ( 144 = 2(c^2 + 6c + 9) + 2c^2 — m^2 ).
8. Упрощаем: ( 144 = 4c^2 + 12c + 18 — m^2 ).
9. Предположим, что медиана к стороне ( a ): ( m^2 = frac{2b^2 + 2c^2 — a^2}{4} ), найдем ( m ) и подставим в уравнение.
10. Решим систему и найдем ( b ) и ( c ).
11. Получаем: стороны треугольника равны ( 6, 9, 12 ).