Решение:
1. Уравнение (N+1)^k — 1 = N! рассматриваем при N натуральном.
2. Пробуем N = 1: (1+1)^k — 1 = 1! => 2^k — 1 = 1 => 2^k = 2 => k = 1.
3. Пробуем N = 2: (2+1)^k — 1 = 2! => 3^k — 1 = 2 => 3^k = 3 => k = 1.
4. Пробуем N = 3: (3+1)^k — 1 = 3! => 4^k — 1 = 6 => 4^k = 7. k не натуральное.
5. Пробуем N = 4: (4+1)^k — 1 = 4! => 5^k — 1 = 24 => 5^k = 25 => k = 2.
6. Пробуем N = 5: (5+1)^k — 1 = 5! => 6^k — 1 = 120 => 6^k = 121. k не натуральное.
7. Проверяем N больше 5, значения k возрастают, но (N+1)^k — 1 < N! для натуральных N и k.
Решение: (N, k) = (1, 1), (2, 1), (4, 2).