Решение:
1. Начнем с неравенства: sin(3x — π/4) ≥ -1/2.
2. Найдем, при каких значениях аргумента синус равен -1/2. Это происходит при:
— 3x — π/4 = 7π/6 + 2kπ, где k — целое число (первый угол в третьем квадранте)
— 3x — π/4 = 11π/6 + 2kπ, где k — целое число (второй угол в четвертом квадранте)
3. Решим каждое из уравнений для x.
Для первого уравнения:
3x — π/4 = 7π/6 + 2kπ
3x = 7π/6 + π/4 + 2kπ
3x = 7π/6 + 3π/12 + 2kπ
3x = 14π/12 + 3π/12 + 2kπ
3x = 17π/12 + 2kπ
x = (17π/12 + 2kπ) / 3
x = 17π/36 + (2kπ)/3
Для второго уравнения:
3x — π/4 = 11π/6 + 2kπ
3x = 11π/6 + π/4 + 2kπ
3x = 11π/6 + 3π/12 + 2kπ
3x = 22π/12 + 3π/12 + 2kπ
3x = 25π/12 + 2kπ
x = (25π/12 + 2kπ) / 3
x = 25π/36 + (2kπ)/3
4. Теперь определим промежутки, где sin(3x — π/4) ≥ -1/2. Это происходит между значениями, найденными в шагах 2 и 3.
5. Объединим результаты:
x ≥ 17π/36 + (2kπ)/3 и x ≤ 25π/36 + (2kπ)/3.
6. Таким образом, общее решение неравенства:
x ∈ [17π/36 + (2kπ)/3, 25π/36 + (2kπ)/3], где k — целое число.