Решение:
1. Найдем нормальный вектор плоскости, заданной уравнением x — 4y + 3z + 2 = 0. Нормальный вектор этой плоскости равен (1, -4, 3).
2. Найдем вектор AB, соединяющий точки A(2, 3, -1) и B(1, 1, 4):
AB = B — A = (1 — 2, 1 — 3, 4 — (-1)) = (-1, -2, 5).
3. Плоскость, которую мы ищем, должна быть перпендикулярна к плоскости x — 4y + 3z + 2 = 0, следовательно, ее нормальный вектор будет коллинеарен вектору (1, -4, 3) и вектору AB (-1, -2, 5).
4. Для нахождения нормального вектора искомой плоскости, найдем векторное произведение векторов (1, -4, 3) и (-1, -2, 5):
N = (1, -4, 3) x (-1, -2, 5).
5. Вычислим компоненты векторного произведения:
N_x = (-4)*5 — 3*(-2) = -20 + 6 = -14,
N_y = 3*(-1) — 1*5 = -3 — 5 = -8,
N_z = 1*(-2) — (-4)*(-1) = -2 — 4 = -6.
Таким образом, нормальный вектор N = (-14, -8, -6).
6. Теперь, используя точку A(2, 3, -1) и нормальный вектор N, составим уравнение плоскости в виде:
-14(x — 2) — 8(y — 3) — 6(z + 1) = 0.
7. Раскроем скобки:
-14x + 28 — 8y + 24 — 6z — 6 = 0.
8. Упростим уравнение:
-14x — 8y — 6z + 46 = 0.
9. Перепишем уравнение в стандартной форме:
14x + 8y + 6z = 46.
Ответ: Уравнение плоскости: 14x + 8y + 6z = 46.