Решение:
1. Начнем с неравенства: X² — 2X — 3 ≤ 0.
2. Найдем корни уравнения X² — 2X — 3 = 0. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: X = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.
3. Подставим значения: X = (2 ± √((-2)² — 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1).
4. Вычислим дискриминант: D = (-2)² — 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
5. Теперь найдем корни: X = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.
6. Получаем два корня: X1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 и X2 = (2 — 4) / 2 = -2 / 2 = -1.
7. Теперь у нас есть корни X1 = 3 и X2 = -1. Эти корни делят числовую ось на три интервала: (-∞, -1), (-1, 3) и (3, +∞).
8. Проверим знак неравенства на каждом интервале:
— Для интервала (-∞, -1) возьмем, например, X = -2: (-2)² — 2*(-2) — 3 = 4 + 4 — 3 = 5 > 0.
— Для интервала (-1, 3) возьмем, например, X = 0: 0² — 2*0 — 3 = -3 ≤ 0.
— Для интервала (3, +∞) возьмем, например, X = 4: 4² — 2*4 — 3 = 16 — 8 — 3 = 5 > 0.
9. Таким образом, неравенство X² — 2X — 3 ≤ 0 выполняется на интервале [-1, 3].
10. Ответ: X ∈ [-1, 3].