Решение:
1. Начнем с неравенства: X² — 4X — 5 < 0.
2. Найдем корни соответствующего уравнения X² - 4X - 5 = 0 с помощью дискриминанта.
3. Дискриминант D = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36.
4. Корни уравнения: X1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5, X2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1.
5. Теперь у нас есть корни X1 = 5 и X2 = -1.
6. Разобьем числовую ось на интервалы: (-∞, -1), (-1, 5), (5, +∞).
7. Проверим знак выражения X² - 4X - 5 на каждом интервале:
- Для интервала (-∞, -1) возьмем, например, X = -2: (-2)² - 4*(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0.
— Для интервала (-1, 5) возьмем, например, X = 0: 0² — 4*0 — 5 = -5 < 0.
- Для интервала (5, +∞) возьмем, например, X = 6: 6² - 4*6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0.
8. Таким образом, выражение X² — 4X — 5 < 0 на интервале (-1, 5).
9. Ответ: X ∈ (-1, 5).