Решение:
1. **Определим параметры орбиты кометы**. Комета движется по эллиптической орбите, и в её перигелии (ближайшая точка к Солнцу) скорость составляет 70 км/с, а расстояние от Солнца — 0,5 а.е. В афелии (самая удаленная точка от Солнца) скорость составляет 5 км/с.
2. **Используем закон сохранения энергии**. Полная механическая энергия кометы на орбите сохраняется. Энергия в перигелии и афелии будет одинаковой.
3. **Запишем формулы для энергии**. Полная механическая энергия кометы в перигелии (E1) и афелии (E2) можно выразить через кинетическую и потенциальную энергии:
E1 = K1 + U1
E2 = K2 + U2
где K — кинетическая энергия, U — потенциальная энергия.
4. **Кинетическая энергия**. Кинетическая энергия K выражается как K = (1/2) * m * v^2, где m — масса кометы, v — скорость.
5. **Потенциальная энергия**. Потенциальная энергия U в гравитационном поле Солнца выражается как U = -G * M * m / r, где G — гравитационная постоянная, M — масса Солнца, r — расстояние от кометы до Солнца.
6. **Запишем уравнения для перигелия и афелия**:
E1 = (1/2) * m * (70^2) — G * M * m / (0.5)
E2 = (1/2) * m * (5^2) — G * M * m / r
7. **Приравняем E1 и E2**:
(1/2) * m * (70^2) — G * M * m / (0.5) = (1/2) * m * (5^2) — G * M * m / r
8. **Упростим уравнение**. Уберем массу m из уравнения (она не равна нулю):
(1/2) * (70^2) — (-2G * M) = (1/2) * (5^2) — (-G * M / r)
9. **Перепишем уравнение**:
(1/2) * (70^2) + 2G * M = (1/2) * (5^2) + G * M / r
10. **Подставим известные значения**:
70^2 = 4900, 5^2 = 25, и G * M = 1 (в а.е. и годах).
11. **Подставим в уравнение**:
(1/2) * 4900 + 2 = (1/2) * 25 + 1/r
12. **Упростим**:
2450 + 2 = 12.5 + 1/r
13. **Решим уравнение для r**:
2452 — 12.5 = 1/r
2439.5 = 1/r
r = 1 / 2439.5
14. **Вычислим r**:
r ≈ 0.000409 а.е.
15. **Преобразуем в более привычные единицы**. 1 а.е. ≈ 149.6 млн км, следовательно:
r ≈ 0.000409 * 149.6 млн км ≈ 61.1 км.
Таким образом, расстояние кометы до Солнца в афелии составляет примерно 61.1 км.