Решение:
1. **Запишем функцию**: f(x) = 2x^3 — 3x^2.
2. **Найдем производную функции**:
Для нахождения критических точек найдем производную f'(x).
f'(x) = d/dx (2x^3) — d/dx (3x^2) = 6x^2 — 6x.
3. **Приравняем производную к нулю**:
6x^2 — 6x = 0.
Вынесем общий множитель:
6x(x — 1) = 0.
4. **Найдем корни уравнения**:
6x = 0 => x = 0,
x — 1 = 0 => x = 1.
Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 1.
5. **Определим интервалы для анализа**:
Мы будем исследовать интервалы (-∞, 0), (0, 1) и (1, ∞).
6. **Выберем тестовые точки**:
Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1,
для интервала (0, 1) возьмем x = 0.5,
для интервала (1, ∞) возьмем x = 2.
7. **Проверим знак производной на каждом интервале**:
— Для x = -1: f'(-1) = 6(-1)^2 — 6(-1) = 6 + 6 = 12 (положительный).
— Для x = 0.5: f'(0.5) = 6(0.5)^2 — 6(0.5) = 6(0.25) — 3 = 1.5 (положительный).
— Для x = 2: f'(2) = 6(2)^2 — 6(2) = 24 — 12 = 12 (положительный).
8. **Сделаем вывод о монотонности**:
— На интервале (-∞, 0) производная положительна, значит функция возрастает.
— На интервале (0, 1) производная также положительна, значит функция продолжает возрастать.
— На интервале (1, ∞) производная положительна, значит функция продолжает возрастать.
9. **Определим значения функции в критических точках**:
— f(0) = 2(0)^3 — 3(0)^2 = 0.
— f(1) = 2(1)^3 — 3(1)^2 = 2 — 3 = -1.
10. **Найдем поведение функции**:
— При x = 0 функция имеет значение 0.
— При x = 1 функция имеет значение -1.
— Функция не имеет максимумов или минимумов, так как она возрастает на всех интервалах.
11. **Вывод**:
Функция f(x) = 2x^3 — 3x^2 возрастает на всей области определения, и имеет критические точки в x = 0 (значение 0) и x = 1 (значение -1).
Таким образом, функция не имеет экстремумов и всегда возрастает.