Решение:
Дано уравнение движения точки: x = 4 + 2t — 0,5t^2 (м).
1) Найдем путь и перемещение точки за промежуток времени от t1 = 1 с до t2 = 3 с.
Сначала найдем координаты точки в моменты времени t1 и t2.
Для t1 = 1 с:
x(1) = 4 + 2(1) — 0,5(1)^2
x(1) = 4 + 2 — 0,5
x(1) = 5,5 м.
Для t2 = 3 с:
x(3) = 4 + 2(3) — 0,5(3)^2
x(3) = 4 + 6 — 0,5(9)
x(3) = 4 + 6 — 4,5
x(3) = 5,5 м.
Теперь найдем перемещение:
Перемещение = x(t2) — x(t1) = x(3) — x(1) = 5,5 — 5,5 = 0 м.
Путь, пройденный точкой, равен 0, так как начальная и конечная координаты совпадают.
2) Найдем среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток.
Средняя скорость (Vср) вычисляется по формуле:
Vср = (x(t2) — x(t1)) / (t2 — t1).
Подставим значения:
Vср = (5,5 — 5,5) / (3 — 1) = 0 / 2 = 0 м/с.
Теперь найдем среднее ускорение (aср). Ускорение — это производная скорости по времени. Сначала найдем скорость.
Скорость v(t) = dx/dt = d(4 + 2t — 0,5t^2)/dt = 2 — t.
Теперь найдем ускорение:
Ускорение a(t) = dv/dt = d(2 — t)/dt = -1.
Среднее ускорение за промежуток времени от t1 до t2:
aср = (a(t2) + a(t1)) / 2.
Так как a(t) = -1 для любого t, то:
aср = (-1 + -1) / 2 = -1 м/с^2.
3) Найдем скорость и ускорение точки в момент времени t = 1 с.
Скорость в момент времени t = 1 с:
v(1) = 2 — 1 = 1 м/с.
Ускорение в момент времени t = 1 с:
a(1) = -1 м/с^2 (так как ускорение постоянное).
Ответы:
1) Перемещение = 0 м, путь = 0 м.
2) Средняя скорость = 0 м/с, среднее ускорение = -1 м/с^2.
3) Скорость = 1 м/с, ускорение = -1 м/с^2.