Решение:
1. Обозначим высоту пирамиды как h. Апофема (l) равна 6, а радиус описанной окружности (R) равен 4.
2. В правильной четырёхугольной пирамиде основание является квадратом. Радиус описанной окружности квадрата равен R = a / sqrt(2), где a — сторона квадрата.
3. Из формулы R = a / sqrt(2) находим сторону квадрата: a = R * sqrt(2) = 4 * sqrt(2).
4. Теперь найдем высоту h. В треугольнике, образованном высотой h, апофемой l и половиной стороны основания (a/2), выполняется теорема Пифагора:
l^2 = h^2 + (a/2)^2.
5. Подставим известные значения:
6^2 = h^2 + (4 * sqrt(2) / 2)^2,
36 = h^2 + (2 * sqrt(2))^2,
36 = h^2 + 8.
6. Найдем h:
h^2 = 36 — 8,
h^2 = 28,
h = sqrt(28) = 2 * sqrt(7).
7. Теперь найдем косинус двугранного угла при основании. Косинус двугранного угла (cos φ) можно найти как отношение высоты h к апофеме l:
cos φ = h / l = (2 * sqrt(7)) / 6 = sqrt(7) / 3.
Ответ: косинус двугранного угла при основании пирамиды равен sqrt(7) / 3.