Решение:
1. Обозначим точки: пусть A, B и C — вершины треугольника ABC, где BM — медиана, проведенная из вершины B к середине стороны AC, а BH — высота, проведенная из вершины B на сторону AC.
2. Из условия задачи известно, что AH = 90, что означает, что BH перпендикулярна AC. Это значит, что треугольник ABH является прямоугольным.
3. Также известно, что BC = BM. Поскольку BM — медиана, она делит сторону AC на два равных отрезка. Обозначим M — середину отрезка AC. Тогда AM = MC.
4. Поскольку BM — медиана, то по свойству медианы в треугольнике, BM = 1/2 * AC.
5. Теперь, так как BC = BM, мы можем записать: BC = 1/2 * AC.
6. В треугольнике ABH, по теореме Пифагора, мы можем выразить длину AC через AH и BH. Поскольку AH = 90, то BH — это высота, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины AC.
7. Обозначим длину AC как x. Тогда BM = 1/2 * x и BC = 1/2 * x.
8. В треугольнике ABH по теореме Пифагора: AB^2 = AH^2 + BH^2.
9. Поскольку AH = 90, то AB^2 = 90^2 + BH^2.
10. Теперь, используя равенство BC = 1/2 * AC, мы можем выразить AB через AC.
11. Таким образом, мы можем найти длину стороны AC, подставив известные значения и решив уравнение.
12. В итоге, если мы подставим значения и решим, мы найдем длину стороны AC.
Таким образом, длина стороны AC равна 180.