Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника ABC. Пусть AB = c, AC = b = 14 см, BC = a = 14 см. Медиана AK делит сторону BC пополам, поэтому BK = KC = a/2 = 14/2 = 7 см.
2. Используем формулу для длины медианы. Длина медианы AK может быть найдена по формуле:
m_a = (1/2) * sqrt(2b^2 + 2c^2 — a^2),
где m_a — длина медианы, b и c — длины сторон, а — длина стороны, к которой проведена медиана.
3. Подставим известные значения в формулу. Мы знаем, что AK = 9 см, b = 14 см, a = 14 см. Обозначим c = AB. Тогда:
9 = (1/2) * sqrt(2 * 14^2 + 2c^2 — 14^2).
4. Упростим уравнение:
9 = (1/2) * sqrt(2 * 196 + 2c^2 — 196),
9 = (1/2) * sqrt(392 + 2c^2 — 196),
9 = (1/2) * sqrt(196 + 2c^2).
5. Умножим обе стороны на 2:
18 = sqrt(196 + 2c^2).
6. Возведем обе стороны в квадрат:
324 = 196 + 2c^2.
7. Переносим 196 на левую сторону:
324 — 196 = 2c^2,
128 = 2c^2.
8. Делим обе стороны на 2:
64 = c^2.
9. Извлекаем квадратный корень:
c = 8 см.
10. Теперь у нас есть все стороны треугольника: AB = 8 см, AC = 14 см, BC = 14 см.
11. Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника. Сначала найдем полупериметр:
p = (a + b + c) / 2 = (14 + 14 + 8) / 2 = 18 см.
12. Теперь используем формулу Герона для площади S:
S = sqrt(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)),
S = sqrt(18 * (18 — 14) * (18 — 14) * (18 — 8)),
S = sqrt(18 * 4 * 4 * 10).
13. Упростим:
S = sqrt(18 * 160) = sqrt(2880).
14. Найдем значение:
S = sqrt(2880) = sqrt(144 * 20) = 12 * sqrt(20) = 12 * 2 * sqrt(5) = 24 * sqrt(5).
15. Приблизительно:
S ≈ 24 * 2.236 = 53.664 см².
Таким образом, площадь треугольника ACB равна 24 * sqrt(5) см² или примерно 53.664 см².