Решение:
1. Дано, что треугольник ABC имеет стороны AB = 66, BC = 37 и AC = 75. Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно.
2. По свойству средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине её длины.
3. Сначала найдем длину отрезка MN. Поскольку M — середина AB, а N — середина BC, отрезок MN будет параллелен стороне AC.
4. Длина стороны AC равна 75. Следовательно, длина отрезка MN будет равна половине длины AC.
5. Рассчитаем MN: MN = 1/2 * AC = 1/2 * 75 = 37.5.
6. Таким образом, длина отрезка MN равна 37.5.
Ответ: MN = 37.5.