Для решения задачи будем использовать известные свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции. Дано, что треугольник ABC прямоугольный, и угол C равен 90 градусов, а также sin(A) = √21 / 5.
1. **Выразим cos(A) и sin(B)**:
В прямоугольном треугольнике A и B — это острые углы, и их сумма равна 90 градусов. Таким образом, B = 90 — A.
Из данного значения sin(A) мы можем выразить cos(A):
cos^2(A) + sin^2(A) = 1
cos^2(A) = 1 — sin^2(A) = 1 — (√21 / 5)² = 1 — 21 / 25 = 4 / 25
cos(A) = √(4 / 25) = 2 / 5
2. **Определим синусы и косинусы угла B**:
Мы знаем, что sin(B) = cos(A) и cos(B) = sin(A):
sin(B) = 2 / 5
cos(B) = √21 / 5
3. **Обозначим стороны треугольника**:
Пусть BC = a, AC = b, AB = c (где c — гипотенуза, а и b — катеты). Используя определения синуса и косинуса, получим:
sin(A) = a/c и cos(A) = b/c
Из этого можем выразить катеты:
a = c * sin(A) = c * (√21 / 5),
b = c * cos(A) = c * (2 / 5).
4. **Теперь используем теорему Пифагора**:
В прямоугольном треугольнике выполняется:
c² = a² + b².
Подставляя выражения для a и b, получаем:
c² = (c * (√21 / 5))² + (c * (2 / 5))²
c² = c² * (21 / 25) + c² * (4 / 25)
c² = c² * (25 / 25)
c² = c²,
что верно для любого c > 0, и следовательно, теорема Пифагора выполняется.
5. **Теперь можем выбрать любое значение для гипотенузы c**.
Для простоты, пусть c = 5. Тогда:
a = c * (√21 / 5) = 5 * (√21 / 5) = √21,
b = c * (2 / 5) = 5 * (2 / 5) = 2.
6. **Итак, длины сторон треугольника**:
AB = c = 5,
AC = b = 2,
BC = a = √21.
7. **Теперь найдем углы A и B**.
Угол A уже известен:
sin(A) = √21 / 5,
значит, A = arcsin(√21 / 5).
Угол B:
sin(B) = 2 / 5,
значит, B = arcsin(2 / 5).
В итоге, стороны треугольника ABC равны:
— AB = 5,
— AC = 2,
— BC = √21.
Углы равны:
— A = arcsin(√21 / 5),
— B = arcsin(2 / 5).
Кроме того, теор