Из точки A, не лежащей на окружности, проведена касательная AB и секущая AK, которая пересекает окружность в точках K и P, начиная от точки A. Дано, что длина отрезка AK равна 4, а длина отрезка AB равна 8. Найдите длину отрезка AP.

Решим задачу по шагам.

1. Определим, что у нас есть точка A, касательная AB и секущая AK, которые пересекают окружность в точках K и P.

2. По условию длина отрезка AK равна 4, а длина отрезка AB равна 8.

3. Известно, что для касательной и секущей, проведенных из одной точки, действует теорема касательной и секущей:
(длина касательной)² = (длина секущей) * (длина отрезка, находящегося на секущей между точками пересечения и точкой A).

4. Подставим известные значения в формулу:
AB² = AK * AP.
То есть, 8² = 4 * AP.

5. Посчитаем 8²:
64 = 4 * AP.

6. Теперь найдем AP. Для этого разделим обе стороны уравнения на 4:
AP = 64 / 4,
AP = 16.

7. Таким образом, длина отрезка AP равна 16.

Ответ: Длина отрезка AP равна 16.