Из точки A, не лежащей на окружности, проведена касательная AB и секущая AK, которая пересекает окружность в точках K и R, начиная от точки A. Известно, что отношение длин отрезков АК и КР равно 1 : 3, а длина касательной AB составляет 14 единиц. Необходимо найти длины отрезков АР и AK.

Решим задачу по шагам.

1. Обозначим длину отрезка AK как x. Тогда длина отрезка KR, согласно условию задачи, будет равна 3x, поскольку AK и KR относятся как 1 : 3.

2. Теперь найдем длину отрезка AR. Поскольку AR = AK + KR, получается, что AR = x + 3x = 4x.

3. Известно, что длина касательной AB равна 14 единиц. Обозначим точку касания с окружностью как B. Согласно свойству касательной и секущей, справедливо следующее соотношение: (AB)^2 = AK * AR.

4. Подставим известные значения в уравнение:
(14)^2 = AK * AR
196 = x * 4x

5. Упростим уравнение:
196 = 4x^2
x^2 = 196 / 4
x^2 = 49
x = 7 (поскольку длины отрезков положительные).

6. Теперь можем найти длину отрезка AK:
AK = x = 7.

7. Теперь найдем длину отрезка AR:
AR = 4x = 4 * 7 = 28.

Таким образом, нашли длины отрезков:
— Длина отрезка AK = 7 единиц.
— Длина отрезка AR = 28 единиц.