Для решения задачи следуем следующим шагам:
1. **Определим длину высоты конуса**:
Обозначим высоту конуса через H. По условию, плоскость среза делит высоту конуса на отрезки в отношении 1:3, поэтому отрезок, который находится от вершины до плоскости среза, составляет 1/4 от H. Это значит, что:
h = H / 4.
2. **Найдем радиус сечения**:
Сечение конуса на высоте h является кругом. На высоте h, радиус сечения (R_h) можно выразить через радиус основания конуса (R) и высоту конуса (H) с помощью подобия треугольников:
R_h / R = h / H. Подставим значение h:
R_h / R = (H / 4) / H.
Упрощая, получаем:
R_h / R = 1/4, значит, R_h = R / 4.
3. **Вычислим площадь сечения**:
Площадь сечения (A_h) равна площади круга с радиусом R_h:
A_h = π * R_h^2.
Подставим значение R_h:
A_h = π * (R / 4)^2 = π * (R^2 / 16) = (πR^2) / 16.
4. **Установим равенство для площади сечения**:
Из условия задачи известно, что площадь сечения равна 5π:
(πR^2) / 16 = 5π.
Умножим обе стороны уравнения на 16:
πR^2 = 80π.
5. **Найдем радиус основания конуса**:
Разделим обе стороны уравнения на π:
R^2 = 80.
Теперь найдем R, взяв квадратный корень:
R = корень из 80 = 4√5.
6. **Вычислим площадь основания конуса**:
Площадь основания конуса (A) равна πR^2:
A = π * (R^2) = π * 80 = 80π.
Таким образом, площадь основания конуса равна 80π.