Решим задачу по шагам:
1. **Определение стороны квадрата**:
Зная, что диагональ квадрата равна 42 см, можем использовать формулу для диагонали квадрата:
D = a * корень из 2, где D — диагональ, a — сторона квадрата.
Подставим известное значение:
42 = a * корень из 2.
Для нахождения стороны квадрата (a) выразим её:
a = 42 / корень из 2 = 42 * 1 / корень из 2 = 42 * корень из 2 / 2 = 21 * корень из 2 см.
2. **Постановка задачи по формированию цилиндра**:
При вращении квадрата вокруг одной из своих сторон образуется цилиндр. Высота этого цилиндра равна длине стороны квадрата, а радиус основания равен половине диагонали квадрата.
3. **Находим радиус основания цилиндра**:
Длина диагонали квадрата (42 см) является стороной квадрата, и при вращении она образует радиус цилиндра:
R = a / 2 = 21 * корень из 2 / 2 = 21 / 2 * корень из 2 см.
4. **Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра**:
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
S = 2 * π * R * h, где R — радиус основания, h — высота цилиндра.
Подставим известные значения:
R = 21 / 2 * корень из 2 см, h = 21 * корень из 2 см.
5. **Подставляем данные в формулу**:
S = 2 * π * (21 / 2 * корень из 2) * (21 * корень из 2).
6. **Упрощаем выражение**:
S = 2 * π * (21/2) * (21 * корень из 2) * (корень из 2) = 2 * π * (21/2) * (21 * 2) = 2 * π * (21/2) * 42.
Упрощаем: S = π * 21 * 42.
7. **Рассчитываем значение**:
21 * 42 = 882, значит S = 882π см².
Таким образом, окончательный ответ:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 882π см².