На стороне АС треугольника АВС отметили точку Е так, что отношение AE к CE равно 2 : 7. Через точку Е провели прямую, которая параллельна стороне АВ треугольника и пересекает сторону ВС в точке F. Длина отрезка EF равна 21 см. Найдите длину стороны AB треугольника АВС.

Для решения задачи следуем следующим шагам:

1. **Обозначим длины отрезков**: Пусть длина отрезка AE равна 2x, а длина отрезка CE равна 7x. Таким образом, полный отрезок AC будет равен AE + CE = 2x + 7x = 9x.

2. **Используем теорему о пропорциональных отрезках**: Так как прямая EF параллельна стороне AB, согласно теореме о пропорциональных отрезках (теорема Сими́л), мы имеем:
(AE / EC) = (AF / FB)

Из условия задачи мы знаем, что AE : EC = 2 : 7. То есть AE/EC = 2/7.

3. **Предположим, что длина AB равна k**. Тогда по теореме мы можем записать:
AF / FB = 2 / 7, что значит, что AF = (2/9)k и FB = (7/9)k.

4. **Для нахождения длины отрезка EF**: Мы знаем, что длина отрезка EF равна 21 см. Поскольку отрезок EF является отрезком пересечения, его длина (EF) будет равна (AF / k) * AB, что подразумевает следующее:
EF = (EF / AB) * AB = (2 / 9) * k.

5. **Установим уравнение**:
(2/9) * k = 21.

6. **Решим уравнение для k**:
k = 21 * (9 / 2) = 21 * 4.5 = 94.5 см.

7. **Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC составляет** 94.5 см.

Ответ: Длина стороны AB треугольника ABC равна 94.5 см.