Чтобы преобразовать координаты из полярной системы в декартову, воспользуемся следующими формулами:
1. x = r * cos(θ)
2. y = r * sin(θ)
где r — радиус, θ — угол в радианах.
Теперь давайте решим задачу по шагам:
Шаг 1: Определим радиус и угол.
— Радиус (r) = 5
— Угол (θ) = 15π/4 радиан
Шаг 2: Приведем угол θ к стандартному диапазону от 0 до 2π. Для этого найдем углы, эквивалентные 15π/4. Мы можем вычесть 2π (или 8π/4), чтобы привести угол к стандартному диапазону:
15π/4 — 8π/4 = 7π/4
Шаг 3: Теперь у нас есть угол θ = 7π/4 радиан.
Шаг 4: Рассчитаем декартовы координаты.
— x = r * cos(θ) = 5 * cos(7π/4)
— y = r * sin(θ) = 5 * sin(7π/4)
Шаг 5: Найдем значения косинуса и синуса для угла 7π/4.
— cos(7π/4) = sqrt(2)/2 (положительное значение, поскольку 7π/4 лежит в четвертом квадранте)
— sin(7π/4) = -sqrt(2)/2 (отрицательное значение, поскольку 7π/4 лежит в четвертом квадранте)
Шаг 6: Подставим значения в формулы.
— x = 5 * (sqrt(2)/2) = (5sqrt(2))/2
— y = 5 * (-sqrt(2)/2) = -(5sqrt(2))/2
Шаг 7: Таким образом, декартовы координаты точки равны:
x = (5sqrt(2))/2,
y = -(5sqrt(2))/2.
В ответе координаты будут записаны как:
((5sqrt(2))/2, -(5sqrt(2))/2).