Решим задачу по шагам.
1. **Найдем площадь треугольника ABC.** Для этого используем формулу Герона.
Сначала найдем полупериметр треугольника ABC:
p = (AB + AC + BC) / 2 = (21 + 17 + 10) / 2 = 24.
2. **Теперь найдем площадь (S) треугольника ABC по формуле Герона:**
S = sqrt(p * (p — AB) * (p — AC) * (p — BC)).
Подставим значения:
S = sqrt(24 * (24 — 21) * (24 — 17) * (24 — 10))
= sqrt(24 * 3 * 7 * 14)
= sqrt(24 * 294).
Сначала вычислим 24 * 294 = 7056.
Теперь найдем корень:
S = sqrt(7056) = 84.
3. **Найдем высоту треугольника ABC, опущенную на основание AB.** Используем формулу для площади треугольника:
S = (AB * h) / 2.
Мы уже знаем S и AB:
84 = (21 * h) / 2.
При умножении на 2:
168 = 21 * h.
Отсюда h = 168 / 21 = 8.
4. **Найдем длину отрезка CF.** Он равен 15 и перпендикулярен плоскости треугольника ABC.
5. **Посмотрим на треугольник FCB.** Отрезок FM перпендикулярен отрезку AB, следовательно, FM — это проекция отрезка CF на плоскость, содержащую AB.
6. **Теперь найдем длину FM.** У нас есть высота CF = 15 и высота AB = 8, и FM будет являться основанием прямоугольного треугольника FCB. Используем теорему Пифагора для нахождения длины FM.
Длина FM = sqrt(CF^2 — h^2) = sqrt(15^2 — 8^2).
Это = sqrt(225 — 64) = sqrt(161).
7. **Окончательный ответ.** Длина отрезка FM равна sqrt(161).
Таким образом, длина отрезка FM = sqrt(161) ≈ 12.6886.