Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы и теоремой Пифагора.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника.
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Биссектрисса острого угла делит противолежащий катет (в данном случае катет a) на отрезки длиной 21 см и 35 см. Обозначим отрезок, который равен 21 см, как x, а отрезок, который равен 35 см, как y. Тогда:
x = 21 см,
y = 35 см.
Шаг 2: Используем свойство биссектрисы.
Согласно свойству биссектрисы, отношение отрезков, на которые она делит противолежащий катет, равно отношению прилежащих к этому углу катетов. То есть:
x/y = b/a.
Подставляем значения x и y:
21/35 = b/a.
Упрощаем дробь:
3/5 = b/a.
Отсюда можно выразить b через a:
b = (3/5)a (1).
Шаг 3: Выразим гипотенузу.
Гипотенуза c будет равна sqrt(a^2 + b^2). Подставим b из (1):
c = sqrt(a^2 + (3/5)a^2) = sqrt( (1 + 9/25)a^2 ) = sqrt(34/25)a = (sqrt(34)/5)a (2).
Шаг 4: Извлечение отношений.
Также мы знаем, что сумма отрезков, на которые делится катет, равна длине наклонного (a):
x + y = a.
21 + 35 = a.
a = 56 см (3).
Теперь подставим значение a в уравнение (1):
b = (3/5)*(56) = 33.6 см.
Шаг 5: Находим длину гипотенузы.
Теперь, используя (2), найдем c:
c = (sqrt(34)/5)*56.
Шаг 6: Находим площадь треугольника.
Площадь S прямоугольного треугольника равна S = (1/2)*a*b.
Подставим a и b:
S = (1/2)*56*33.6 = 28*33.6 = 940.8 см².
Шаг 7: Ответ.
Площадь прямоугольного треугольника равна 940.8 см².