Для решения задачи будем использовать формулы для периметра и площади прямоугольника:
1. Периметр прямоугольника:
P = 2(a + b) = 56 см.
Поскольку мы знаем, что P = 56, можем упростить уравнение:
a + b = 28.
2. Площадь прямоугольника:
S = a * b = 195 см².
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1. a + b = 28
2. a * b = 195
3. Из первого уравнения выразим b через a:
b = 28 — a.
4. Подставим это выражение во второе уравнение:
a * (28 — a) = 195.
5. Раскроем скобки:
28a — a² = 195.
6. Перепишем уравнение в стандартной форме:
a² — 28a + 195 = 0.
7. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b² — 4ac,
где a = 1, b = -28, c = 195.
D = (-28)² — 4 * 1 * 195
D = 784 — 780
D = 4.
8. Найдем корни уравнения:
a1,2 = (28 ± √D) / (2 * 1)
a1,2 = (28 ± 2) / 2
a1 = (28 + 2) / 2 = 15, а2 = (28 — 2) / 2 = 13.
Таким образом, возможные значения для a:
a1 = 15, a2 = 13.
9. Теперь найдем соответствующие значения b:
Если a = 15, то b = 28 — 15 = 13.
Если a = 13, то b = 28 — 13 = 15.
Таким образом, длина и ширина прямоугольника:
Длина = 15 см, ширина = 13 см (или наоборот).
Ответ: длина 15 см, ширина 13 см.