Чтобы определить значение d, при котором угол между векторами m и n равен 45°, будем следовать следующим шагам:
1. **Записываем формулы**: Угол между векторами можно определить с помощью формулы:
cos(θ) = (m * n) / (|m| * |n|).
Здесь θ – угол между векторами, m * n – скалярное произведение векторов m и n, |m| и |n| – длины векторов m и n соответственно.
2. **Определяем векторы**: У нас есть:
m = {1; 4},
n = {d; 3}.
3. **Находим скалярное произведение**: Скалярное произведение m и n вычисляется так:
m * n = 1 * d + 4 * 3 = d + 12.
4. **Находим длины векторов**:
— Длина вектора m:
|m| = sqrt(1^2 + 4^2) = sqrt(1 + 16) = sqrt(17).
— Длина вектора n:
|n| = sqrt(d^2 + 3^2) = sqrt(d^2 + 9).
5. **Значение cos(θ) для угла 45°**:
cos(45°) = sqrt(2) / 2.
6. **Подставляем в формулу**: Теперь подставим все найденные значения в формулу:
sqrt(2) / 2 = (d + 12) / (sqrt(17) * sqrt(d^2 + 9)).
7. **Упрощаем уравнение**: Умножим обе стороны на sqrt(17) * sqrt(d^2 + 9):
(sqrt(2) / 2) * (sqrt(17) * sqrt(d^2 + 9)) = d + 12.
Умножаем на 2, чтобы избавиться от дроби:
sqrt(2) * sqrt(17) * sqrt(d^2 + 9) = 2*(d + 12).
8. **Квадрат обеих частей уравнения**: Избавляемся от корней, возведя обе части в квадрат:
2 * 17 * (d^2 + 9) = 4*(d + 12)^2.
Это даёт:
34 * (d^2 + 9) = 4 * (d^2 + 24d + 144).
9. **Раскрываем скобки**:
34d^2 + 306 = 4d^2 + 96d + 576.
10. **Собираем все на одной стороне**: Переносим все элементы на одну сторону:
34d^2 — 4d^2 — 96d + 306 — 576 = 0.
Это упрощается до:
30d^2 — 96d — 270 = 0.
11. **Делим на 6 для упрощения**:
5d^2 — 16d — 45 = 0.
12. **Решаем квадратное уравнение**: Используем дискриминант:
D = b^2 — 4ac = (-16)^2 — 4*5*(-45) = 256 + 900 = 1156.
13. **Находим корни уравнения**:
d = (16 +/- sqrt(1156)) / (2*5).
sqrt(