Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника ABC в точке D. Известно, что длина отрезка BD составляет 9 см, а стороны треугольника ABC имеют следующие длины: AC = 10 см, BC = 13 см, CA = 13 см. Необходимо найти площадь треугольника ABC, а также расстояние от точки D до прямой AC.

Для решения задачи, давайте сначала найдем площадь треугольника ABC, а затем определим расстояние от точки D до прямой AC.

### Шаг 1: Найдем площадь треугольника ABC

Треугольник ABC имеет стороны:
— AC = 10 см
— BC = 13 см
— CA = 13 см

1. Применим формулу Герона для вычисления площади треугольника.
2. Для этого сначала найдем полупериметр p:

p = (AC + BC + CA) / 2
p = (10 + 13 + 13) / 2 = 18 см

3. Теперь определим площадь S по формуле Герона:

S = sqrt(p * (p — AC) * (p — BC) * (p — CA))

Подставляем значения:

S = sqrt(18 * (18 — 10) * (18 — 13) * (18 — 13))
S = sqrt(18 * 8 * 5 * 5)
S = sqrt(18 * 200)
S = sqrt(3600)
S = 60 см²

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 60 см².

### Шаг 2: Найдем расстояние от точки D до прямой AC

Чтобы найти расстояние от точки D до прямой AC, используем формулу для расстояния от точки до прямой, которая основана на площади треугольника:

Расстояние = (2 * площадь) / основание

В данном случае основание — это длина отрезка AC, и площадь, которую мы уже нашли.

1. Длина основания AC = 10 см.
2. Площадь S = 60 см².

Подставляем значения в формулу:

Расстояние = (2 * 60) / 10
Расстояние = 120 / 10
Расстояние = 12 см.

Таким образом, расстояние от точки D до прямой AC равно 12 см.

### Ответ
Площадь треугольника ABC равна 60 см², а расстояние от точки D до прямой AC равно 12 см.