Для решения задачи будем следовать по шагам:
### Шаг 1: Найдем координаты середины стороны BC
Сначала найдем координаты середины отрезка BC. Середина обозначается буквой M. Для нахождения координат M используем формулу:
M_x = (B_x + C_x) / 2
M_y = (B_y + C_y) / 2
Подставим координаты B(3, -1) и C(1, 3):
M_x = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2
M_y = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1
Таким образом, координаты точки M равны (2, 1).
### Шаг 2: Найдем векторы AM и AB
Теперь найдем вектор AM и вектор AB.
Вектор AM:
AM = M — A = (2 — (-1), 1 — (-4)) = (2 + 1, 1 + 4) = (3, 5)
Вектор AB:
AB = B — A = (3 — (-1), -1 — (-4)) = (3 + 1, -1 + 4) = (4, 3)
### Шаг 3: Найдем скалярное произведение векторов AM и AB
Скалярное произведение векторов AM и AB вычисляется по формуле:
AM · AB = AM_x * AB_x + AM_y * AB_y
Подставим значения:
AM · AB = (3 * 4) + (5 * 3) = 12 + 15 = 27
### Шаг 4: Найдем длины векторов AM и AB
Длина вектора AM:
|AM| = sqrt(AM_x^2 + AM_y^2) = sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(9 + 25) = sqrt(34)
Длина вектора AB:
|AB| = sqrt(AB_x^2 + AB_y^2) = sqrt(4^2 + 3^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5
### Шаг 5: Найдем косинус угла между векторами AM и AB
Теперь можем найти косинус угла между векторами AM и AB по формуле:
cos(θ) = (AM · AB) / (|AM| * |AB|)
Подставим значения:
cos(θ) = 27 / (sqrt(34) * 5)
### Заключение
Косинус острого угла между медианной AM и стороной AB равен 27 / (sqrt(34) * 5).