Решение:
1. Определим координаты точек куба. Пусть A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).
2. Плоскость AD1B1 проходит через точки A(0, 0, 0), D(0, 1, 0) и B1(1, 0, 1).
3. Найдем уравнение плоскости. Для этого найдем векторы AD1 и AB1:
— AD1 = D1 — A = (0, 1, 1) — (0, 0, 0) = (0, 1, 1)
— AB1 = B1 — A = (1, 0, 1) — (0, 0, 0) = (1, 0, 1)
4. Найдем нормальный вектор плоскости, взяв векторное произведение AD1 и AB1:
— N = AD1 x AB1 = |i j k|
|0 1 1|
|1 0 1|
— N = (1*1 — 1*0)i — (0*1 — 1*1)j + (0*0 — 1*1)k = (1)i — (-1)j + (-1)k = (1, 1, -1).
5. Уравнение плоскости имеет вид: N * (X — A) = 0, где X(x, y, z) — произвольная точка на плоскости.
— Подставим координаты A(0, 0, 0):
— 1*(x — 0) + 1*(y — 0) — 1*(z — 0) = 0
— x + y — z = 0.
6. Теперь найдем расстояние от точки B(1, 0, 0) до плоскости x + y — z = 0 по формуле:
— d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),
где A = 1, B = 1, C = -1, D = 0, и (x0, y0, z0) = (1, 0, 0).
7. Подставим значения:
— d = |1*1 + 1*0 — 1*0 + 0| / sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2)
— d = |1| / sqrt(1 + 1 + 1) = 1 / sqrt(3).
8. Таким образом, расстояние от точки B до плоскости AD1B1 равно 1/sqrt(3).
Ответ: 1/sqrt(3).