Решение:
1. **Определим координаты точек куба**:
— A(0, 0, 0)
— B(1, 0, 0)
— C(1, 1, 0)
— D(0, 1, 0)
— A¹(0, 0, 1)
— B¹(1, 0, 1)
— C¹(1, 1, 1)
— D¹(0, 1, 1)
2. **Найдем координаты точек O, S и T**:
— O — середина ребра B¹C¹: O(1, 1, 1)
— S — середина ребра D¹C¹: S(1, 1, 1)
— T — середина ребра DC: T(0, 1, 0)
3. **Найдем координаты точки Q**:
— Q — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD: Q(0.5, 0.5, 0)
4. **Определим уравнения прямых**:
— Прямая QT: проходит через точки Q(0.5, 0.5, 0) и T(0, 1, 0).
— Прямая DD¹: проходит через точки D(0, 1, 0) и D¹(0, 1, 1).
— Прямая ST: проходит через точки S(1, 1, 1) и T(0, 1, 0).
— Прямая BD: проходит через точки B(1, 0, 0) и D(0, 1, 0).
— Прямая AA¹: проходит через точки A(0, 0, 0) и A¹(0, 0, 1).
— Прямая A¹D¹: проходит через точки A¹(0, 0, 1) и D¹(0, 1, 1).
5. **Анализ взаимного расположения прямых**:
— **QT и DD¹**: Прямая QT лежит в плоскости z=0, а DD¹ вертикальна. Они пересекаются в точке (0, 1, 0).
— **ST и BD**: Прямая ST идет по линии y=1, а BD также проходит через D(0, 1, 0). Они пересекаются в точке (0, 1, 0).
— **AA¹ и ST**: Прямая AA¹ вертикальна, а ST идет по линии y=1. Они не пересекаются, так как AA¹ находится на x=0, а ST на x=1.
— **QT и A¹D¹**: Прямая QT находится в плоскости z=0, а A¹D¹ вертикальна. Они не пересекаются, так как A¹D¹ находится на x=0, а QT на x=0.5.
6. **Вывод**:
— QT и DD¹ пересекаются.
— ST и BD пересекаются.
— AA¹ и ST не пересекаются.
— QT и A¹D¹ не пересекаются.