Решение:
1. Определим координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1. Пусть A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).
2. Найдем вектор BB1. Вектор BB1 = B1 — B = (1, 0, 1) — (1, 0, 0) = (0, 0, 1).
3. Определим плоскость AD1C1B. Для этого найдем векторы, лежащие в этой плоскости. Векторы AD1 и AC1:
— AD1 = D1 — A = (0, 1, 1) — (0, 0, 0) = (0, 1, 1).
— AC1 = C1 — A = (1, 1, 1) — (0, 0, 0) = (1, 1, 1).
4. Найдем нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение AD1 и AC1:
N = AD1 x AC1 = |i j k|
|0 1 1|
|1 1 1|.
Вычисляем детерминант:
N = (1*1 — 1*1)i — (0*1 — 1*1)j + (0*1 — 1*1)k = (0)i — (-1)j + (-1)k = (0, 1, -1).
5. Теперь найдем угол между вектором BB1 и нормальным вектором N. Угол между вектором и плоскостью равен 90 градусов минус угол между вектором и нормалью.
6. Для нахождения угла между векторами BB1 и N используем формулу:
cos(φ) = (BB1 • N) / (|BB1| * |N|).
Сначала найдем скалярное произведение:
BB1 • N = (0, 0, 1) • (0, 1, -1) = 0*0 + 0*1 + 1*(-1) = -1.
7. Найдем длины векторов:
|BB1| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1,
|N| = sqrt(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(2).
8. Теперь подставим в формулу:
cos(φ) = -1 / (1 * sqrt(2)) = -1/sqrt(2).
9. Угол между BB1 и нормалью N равен φ = arccos(-1/sqrt(2)) = 135 градусов.
10. Угол между BB1 и плоскостью AD1C1B равен 90 — φ = 90 — 135 = -45 градусов. Поскольку угол не может быть отрицательным, мы берем положительное значение, то есть 45 градусов.
Ответ: угол между BB1 и плоскостью AD1C1B равен 45 градусов.