Решение:
1. Определим координаты вершин куба. Пусть:
A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(4, 4, 0), D(0, 4, 0),
A1(0, 0, 4), B1(4, 0, 4), C1(4, 4, 4), D1(0, 4, 4).
2. Найдем векторы, соответствующие диагонали a1c и нормали к плоскости b1d1b.
Вектор a1c:
A1(0, 0, 4) и C(4, 4, 0) => v1 = C — A1 = (4 — 0, 4 — 0, 0 — 4) = (4, 4, -4).
3. Найдем векторы, лежащие в плоскости b1d1b.
Векторы b1d1 и b1b:
b1(4, 0, 4) и d1(0, 4, 4) => v2 = D1 — B1 = (0 — 4, 4 — 0, 4 — 4) = (-4, 4, 0).
b1(4, 0, 4) и b(4, 0, 0) => v3 = B — B1 = (4 — 4, 0 — 0, 0 — 4) = (0, 0, -4).
4. Найдем нормаль к плоскости b1d1b, используя векторное произведение v2 и v3:
v2 x v3 = |i j k|
|-4 4 0|
|0 0 -4|
= i(4 * -4 — 0 * 0) — j(-4 * -4 — 0 * 0) + k(-4 * 0 — 4 * 0)
= -16i — 16j + 0k = (-16, -16, 0).
5. Теперь найдем косинус угла между вектором v1 и нормалью n = (-16, -16, 0):
cos(θ) = (v1 * n) / (|v1| * |n|).
6. Сначала найдем скалярное произведение v1 и n:
v1 * n = (4 * -16) + (4 * -16) + (-4 * 0) = -64 — 64 + 0 = -128.
7. Найдем длины векторов:
|v1| = sqrt(4^2 + 4^2 + (-4)^2) = sqrt(16 + 16 + 16) = sqrt(48) = 4sqrt(3).
|n| = sqrt((-16)^2 + (-16)^2 + 0^2) = sqrt(256 + 256) = sqrt(512) = 16sqrt(2).
8. Теперь подставим в формулу:
cos(θ) = -128 / (4sqrt(3) * 16sqrt(2)) = -128 / (64sqrt(6)) = -2 / sqrt(6).
Ответ: косинус угла между диагональю a1c и плоскостью b1d1b равен -2/sqrt(6).