Решение:
1. Определим координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 7 см. Пусть A(0, 0, 0), B(7, 0, 0), C(7, 7, 0), D(0, 7, 0), A1(0, 0, 7), B1(7, 0, 7), C1(7, 7, 7), D1(0, 7, 7).
2. Найдем координаты диагонали куба A1C. Она соединяет точки A1(0, 0, 7) и C(7, 7, 0). Вектор диагонали A1C будет равен C — A1 = (7 — 0, 7 — 0, 0 — 7) = (7, 7, -7).
3. Теперь найдем координаты диагонали основания ABCD. Она соединяет точки A(0, 0, 0) и C(7, 7, 0). Вектор диагонали ABCD будет равен C — A = (7 — 0, 7 — 0, 0 — 0) = (7, 7, 0).
4. Найдем длины векторов A1C и AC:
— Длина вектора A1C = sqrt(7^2 + 7^2 + (-7)^2) = sqrt(49 + 49 + 49) = sqrt(147) = 7 * sqrt(3).
— Длина вектора AC = sqrt(7^2 + 7^2 + 0^2) = sqrt(49 + 49) = sqrt(98) = 7 * sqrt(2).
5. Найдем скалярное произведение векторов A1C и AC:
A1C • AC = (7, 7, -7) • (7, 7, 0) = 7*7 + 7*7 + (-7)*0 = 49 + 49 + 0 = 98.
6. Теперь найдем косинус угла между векторами A1C и AC по формуле:
cos(θ) = (A1C • AC) / (|A1C| * |AC|).
7. Подставим значения:
cos(θ) = 98 / ((7 * sqrt(3)) * (7 * sqrt(2))) = 98 / (49 * sqrt(6)) = 2 / sqrt(6).
8. Найдем квадрат косинуса:
cos^2(θ) = (2 / sqrt(6))^2 = 4 / 6 = 2 / 3.
9. Округлим до десятых:
2 / 3 ≈ 0.7.
Ответ: 0.7.