Решение:
1. Определим координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1 с ребром корень из двух. Пусть A(0, 0, 0), B(корень из двух, 0, 0), C(корень из двух, корень из двух, 0), D(0, корень из двух, 0), A1(0, 0, корень из двух), B1(корень из двух, 0, корень из двух), C1(корень из двух, корень из двух, корень из двух), D1(0, корень из двух, корень из двух).
2. Найдем координаты центров боковых граней куба:
— Центр грани ABCD: O1(корень из двух/2, корень из двух/2, 0)
— Центр грани A1B1C1D1: O2(корень из двух/2, корень из двух/2, корень из двух)
— Центр грани A1AB: O3(0, корень из двух/2, корень из двух/2)
— Центр грани B1BC: O4(корень из двух, корень из двух/2, корень из двух/2)
— Центр грани C1CD: O5(корень из двух/2, 0, корень из двух/2)
— Центр грани D1DA: O6(0, корень из двух/2, корень из двух/2)
3. Теперь найдем длину ломаной, соединяющей центры O1, O3, O6, O2, O4, O5 и возвращающейся в O1.
4. Вычислим длины отрезков:
— O1O3: расстояние = корень из ((0 — корень из двух/2)^2 + (корень из двух/2 — корень из двух/2)^2 + (корень из двух/2 — 0)^2) = корень из ((корень из двух/2)^2 + (корень из двух/2)^2) = корень из (2 * (корень из двух/2)^2) = корень из (2 * 2/4) = корень из (1) = 1.
— O3O6: расстояние = корень из ((0 — 0)^2 + (корень из двух/2 — корень из двух/2)^2 + (корень из двух/2 — корень из двух/2)^2) = 1.
— O6O2: расстояние = корень из ((корень из двух/2 — 0)^2 + (корень из двух/2 — корень из двух/2)^2 + (корень из двух — корень из двух/2)^2) = корень из ((корень из двух/2)^2 + (корень из двух/2)^2) = 1.
— O2O4: расстояние = 1.
— O4O5: расстояние = 1.
— O5O1: расстояние = 1.
5. Сложим все длины отрезков: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6.
Ответ: Длина замкнутой ломаной равна 6.