Решение:
1. Определим координаты вершин куба ABCDA1B1CID1. Пусть куб имеет длину ребра a. Тогда координаты вершин будут:
— A(0, 0, 0)
— B(a, 0, 0)
— C(a, a, 0)
— D(0, a, 0)
— A1(0, 0, a)
— B1(a, 0, a)
— C1(a, a, a)
— D1(0, a, a)
2. Найдем вектор AB1. Он равен:
AB1 = B1 — A = (a, 0, a) — (0, 0, 0) = (a, 0, a).
3. Определим плоскость BB1D1. Для этого найдем векторы, лежащие в этой плоскости:
— Вектор BB1 = B1 — B = (a, 0, a) — (a, 0, 0) = (0, 0, a).
— Вектор BD1 = D1 — B = (0, a, a) — (a, 0, 0) = (-a, a, a).
4. Найдем нормальный вектор к плоскости BB1D1, используя векторное произведение векторов BB1 и BD1:
N = BB1 x BD1 = |i j k|
|0 0 a|
|-a a a|.
Вычисляем детерминант:
N = (0*a — a*a)i — (0*a — (-a)*0)j + (0*a — 0*(-a))k = (-a^2)i + (0)j + (0)k = (-a^2, 0, 0).
5. Теперь найдем угол между вектором AB1 и нормальным вектором N. Для этого используем формулу:
sin(θ) = |AB1 * N| / (|AB1| * |N|).
6. Сначала найдем скалярное произведение AB1 и N:
AB1 * N = (a, 0, a) * (-a^2, 0, 0) = -a^3.
7. Теперь найдем длины векторов:
|AB1| = sqrt(a^2 + 0 + a^2) = sqrt(2a^2) = a * sqrt(2).
|N| = sqrt((-a^2)^2 + 0 + 0) = sqrt(a^4) = a^2.
8. Подставим значения в формулу для синуса угла:
sin(θ) = |-a^3| / (a * sqrt(2) * a^2) = a^3 / (a^3 * sqrt(2)) = 1 / sqrt(2).
Таким образом, синус угла между AB1 и плоскостью BB1D1 равен 1/sqrt(2).