Чтобы решить задачу, давайте начнём с нахождения длины диагонали BD и площади параллелограмма ABCD.
**Шаг 1: Площадь параллелограмма**
Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
S = AB * AD * sin(A).
Здесь:
— AB = 2 см,
— AD = 4√2 см,
— угол A = 45º, sin(45º) = √2/2.
Теперь подставим значения в формулу:
S = 2 * (4√2) * (√2/2).
Упростим это выражение:
S = 2 * 4 * (√2 * √2) / 2,
S = 2 * 4 * 2 / 2,
S = 2 * 4,
S = 8 см².
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 8 см².
**Шаг 2: Длина диагонали BD**
Для нахождения длины диагонали BD в параллелограмме ABCD воспользуемся формулой для диагоналей:
BD = √(AB² + AD² — 2 * AB * AD * cos(A)).
Здесь:
— AB = 2 см,
— AD = 4√2 см,
— угол A = 45º, cos(45º) = √2/2.
Теперь подставим значения в формулу:
BD = √(2² + (4√2)² — 2 * 2 * (4√2) * (√2/2)).
Посчитаем каждую часть:
1. AB² = 2² = 4,
2. AD² = (4√2)² = 16 * 2 = 32,
3. 2 * AB * AD * cos(A) = 2 * 2 * (4√2) * (√2/2) = 2 * 2 * 4 * 1 = 16.
Теперь подставим все в формулу для BD:
BD = √(4 + 32 — 16),
BD = √(20),
BD = √(4 * 5) = 2√5 см.
Таким образом, длина диагонали BD равна 2√5 см.
**Ответ:**
Площадь параллелограмма: 8 см²,
Длина диагонали BD: 2√5 см.