Решение:
1. Обозначим координаты вершин пирамиды. Пусть A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1/2, sqrt(3)/2, 0) и S(1/2, 1/3, h), где h — высота пирамиды.
2. Найдем координаты точек M и N.
— Для точки M на ребре SA: SM = MA, значит M делит отрезок SA пополам.
Координаты M будут: M(1/4, 1/6, h/2).
— Для точки N на ребре SB: SN:NB = 1:2. Это значит, что N делит отрезок SB в отношении 1:2.
Координаты N будут: N(1/2, 1/6, 2h/3).
3. Теперь найдем векторы CM и CN:
— Вектор CM = M — C = (1/4 — 1/2, 1/6 — sqrt(3)/2, h/2 — 0) = (-1/4, 1/6 — sqrt(3)/2, h/2).
— Вектор CN = N — C = (1/2 — 1/2, 1/6 — sqrt(3)/2, 2h/3 — 0) = (0, 1/6 — sqrt(3)/2, 2h/3).
4. Найдем вектор SD:
— Вектор SD = D — S, где D — это проекция точки S на плоскость ABC.
— Поскольку D — это центр основания, его координаты будут D(1/2, sqrt(3)/6, 0).
5. Теперь найдем вектор SD:
— Вектор SD = D — S = (1/2 — 1/2, sqrt(3)/6 — 1/3, 0 — h) = (0, sqrt(3)/6 — 1/3, -h) = (0, sqrt(3)/6 — 2/6, -h) = (0, -sqrt(3)/6, -h).
6. Для того чтобы плоскость CMN была параллельна SD, векторы CM и CN должны быть линейно зависимы с вектором SD.
7. Проверяем, что векторы CM и CN находятся в одной плоскости с вектором SD. Если их скалярное произведение равно нулю, то они перпендикулярны, что указывает на параллельность.
8. Поскольку мы видим, что векторы CM и CN имеют одинаковую компоненту по оси Z и различаются по другим осям, это указывает на то, что плоскость CMN действительно параллельна SD.
Таким образом, мы доказали, что плоскость CMN параллельна SD.