Решение:
1. Определим координаты точек. Пусть A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(2, 2√3, 0) — вершины основания треугольной пирамиды. Точка M, середина ребра AB, будет иметь координаты M(2, 0, 0).
2. Найдем координаты вершины S. Поскольку SM = 3, то координаты S будут S(2, 0, 3).
3. Найдем длины боковых ребер SA, SB и SC:
— SA = sqrt((2-0)² + (0-0)² + (3-0)²) = sqrt(4 + 0 + 9) = sqrt(13).
— SB = sqrt((2-4)² + (0-0)² + (3-0)²) = sqrt(4 + 0 + 9) = sqrt(13).
— SC = sqrt((2-2)² + (0-2√3)² + (3-0)²) = sqrt(0 + 12 + 9) = sqrt(21).
4. Найдем площади боковых треугольников:
— Площадь треугольника SAB:
— Полупериметр p = (SA + SB + AB) / 2 = (sqrt(13) + sqrt(13) + 4) / 2 = (2sqrt(13) + 4) / 2 = sqrt(13) + 2.
— Площадь = sqrt(p * (p — SA) * (p — SB) * (p — AB)).
— Площадь = sqrt((sqrt(13) + 2) * (2) * (2) * (sqrt(13) — 2)) = sqrt(4 * (sqrt(13) + 2)(sqrt(13) — 2)) = sqrt(4 * (13 — 4)) = sqrt(36) = 6.
— Площадь треугольника SBC:
— Площадь = 1/2 * BC * h, где h — высота из точки S на основание BC.
— Высота h = 3 (по координатам).
— Площадь = 1/2 * 4 * 3 = 6.
— Площадь треугольника SCA:
— Площадь = 1/2 * AC * h, где h — высота из точки S на основание AC.
— Длина AC = 2√3.
— Площадь = 1/2 * 2√3 * 3 = 3√3.
5. Суммируем площади боковых треугольников:
— Площадь боковой поверхности = Площадь SAB + Площадь SBC + Площадь SCA = 6 + 6 + 3√3.
Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 12 + 3√3.