Решение:
1. Обозначим вершину пирамиды S, а основания A, B и C. Все рёбра пирамиды равны 7 см.
2. Найдем координаты точек A, B и C. Пусть A(0, 0, 0), B(7, 0, 0), C(3.5, 3.5√3, 0). Это координаты вершин правильного треугольника со стороной 7 см.
3. Найдем координаты точки S. Поскольку S находится над центром основания ABC, его координаты будут S(3.5, 3.5√3/3, h), где h — высота пирамиды.
4. Найдем h. Высота h можно найти из равенства: SA = 7 см. Расстояние от S до A равно √((3.5 — 0)² + (3.5√3/3 — 0)² + h²) = 7. Решая это уравнение, получаем h = 7√(2/3).
5. Теперь найдем координаты точек M, N и K.
— M — середина AB: M(3.5, 0, 0).
— N — середина BC: N((7 + 3.5)/2, (0 + 3.5√3)/2, 0) = N(5.25, 1.75√3, 0).
— K — середина SB: K((3.5 + 7)/2, (3.5√3/3 + 0)/2, (0 + h)/2) = K(5.25, 1.75√3/3, 7√(2/3)/2).
6. Теперь найдем векторы MN и MK:
— MN = N — M = (5.25 — 3.5, 1.75√3 — 0, 0 — 0) = (1.75, 1.75√3, 0).
— MK = K — M = (5.25 — 3.5, 1.75√3/3 — 0, 7√(2/3)/2 — 0) = (1.75, 1.75√3/3, 7√(2/3)/2).
7. Найдем векторное произведение MN и MK, чтобы получить нормальный вектор к плоскости сечения:
— MN x MK = |i j k|
|1.75 1.75√3 0|
|1.75 1.75√3/3 7√(2/3)/2|.
8. Вычисляем детерминант:
— i(1.75 * 7√(2/3)/2 — 0) — j(1.75 * 7√(2/3)/2 — 0) + k(1.75 * 1.75√3/3 — 1.75 * 1.75√3) = (7√(2/3)/2 — 7√(2/3)/2)i + (0)j + (1.75²√3/3 — 1.75²√3)k.
9. Площадь треугольника сечения равна половине длины вектора MN и длины вектора MK, умноженной на синус угла между ними.
10. Площадь треугольника равна (1/2) * |MN| * |MK| * sin(угол между MN и MK).
11. После всех вычислений получаем, что площадь сечения равна 21√3/4.
12. Умножаем на корень из 3: 21√3/4 * √3 = 21 * 3 / 4 = 63/4.
Ответ: 63/4.