Решение:
1. Определим координаты вершин правильной треугольной призмы. Пусть A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0.5, sqrt(3)/2, 0) — вершины основания, и A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(0.5, sqrt(3)/2, 1) — вершины верхнего основания.
2. Найдем векторы A1C1 и B1C1:
— Вектор A1C1 = C1 — A1 = (0.5, sqrt(3)/2, 1) — (0, 0, 1) = (0.5, sqrt(3)/2, 0).
— Вектор B1C1 = C1 — B1 = (0.5, sqrt(3)/2, 1) — (1, 0, 1) = (-0.5, sqrt(3)/2, 0).
3. Найдем угол между векторами A1C1 и B1C1, используя скалярное произведение:
— Скалярное произведение A1C1 и B1C1:
(0.5, sqrt(3)/2, 0) • (-0.5, sqrt(3)/2, 0) = 0.5 * (-0.5) + (sqrt(3)/2) * (sqrt(3)/2) + 0 * 0 = -0.25 + 3/4 = 0.5.
— Длина вектора A1C1: ||A1C1|| = sqrt(0.5^2 + (sqrt(3)/2)^2 + 0^2) = sqrt(0.25 + 0.75) = sqrt(1) = 1.
— Длина вектора B1C1: ||B1C1|| = sqrt((-0.5)^2 + (sqrt(3)/2)^2 + 0^2) = sqrt(0.25 + 0.75) = sqrt(1) = 1.
4. Используем формулу для нахождения угла между векторами:
cos(θ) = (A1C1 • B1C1) / (||A1C1|| * ||B1C1||) = 0.5 / (1 * 1) = 0.5.
5. Найдем угол θ:
θ = arccos(0.5) = 60°.
Ответ: Угол между прямыми A1C1 и B1C1 равен 60°.