Решение:
1. Определим координаты вершин правильной треугольной призмы. Пусть A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0.5, sqrt(3)/2, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(0.5, sqrt(3)/2, 1).
2. Найдем вектор AA1. Он равен A1 — A = (0, 0, 1) — (0, 0, 0) = (0, 0, 1).
3. Найдем нормальный вектор к плоскости B1C1A1. Для этого найдем два вектора в плоскости: B1B и B1C1.
— Вектор B1B = B — B1 = (1, 0, 0) — (1, 0, 1) = (0, 0, -1).
— Вектор B1C1 = C1 — B1 = (0.5, sqrt(3)/2, 1) — (1, 0, 1) = (-0.5, sqrt(3)/2, 0).
4. Найдем нормальный вектор к плоскости, используя векторное произведение B1B и B1C1:
N = B1B x B1C1 = |i j k|
|0 0 -1|
|-0.5 sqrt(3)/2 0|
Вычисляем определитель:
N = (0 * 0 — (-1) * sqrt(3)/2)i — (0 * 0 — (-1) * (-0.5))j + (0 * sqrt(3)/2 — 0 * (-0.5))k
= (sqrt(3)/2)i — (0.5)j + 0k
= (sqrt(3)/2, -0.5, 0).
5. Теперь найдем угол между вектором AA1 и нормальным вектором N. Для этого используем формулу:
cos(φ) = (AA1 • N) / (|AA1| * |N|).
6. Найдем скалярное произведение AA1 • N:
AA1 • N = (0, 0, 1) • (sqrt(3)/2, -0.5, 0) = 0 + 0 + 0 = 0.
7. Поскольку скалярное произведение равно 0, это означает, что вектор AA1 перпендикулярен нормальному вектору N.
8. Угол между вектором AA1 и плоскостью равен 90 градусов, следовательно, угол между AA1 и нормальным вектором равен 0 градусов.
9. Тангенс угла между AA1 и плоскостью равен tan(90°) = бесконечность.
10. Таким образом, тангенс угла между прямой AA1 и плоскостью B1C1A1 равен 0.
Ответ: 0.