Решение:
1. Обозначим катеты треугольника: AC = 35, BC = b, AB = c (гипотенуза).
2. Высота CH, опущенная на гипотенузу AB, равна 14√6.
3. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:
— Через катеты: S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 35 * b.
— Через высоту: S = (1/2) * AB * CH = (1/2) * c * 14√6.
4. Приравняем два выражения для площади: (1/2) * 35 * b = (1/2) * c * 14√6.
5. Упростим уравнение: 35b = c * 14√6.
6. Выразим c: c = 35b / (14√6) = (5b) / √6.
7. По теореме Пифагора: c^2 = AC^2 + BC^2, то есть (5b/√6)^2 = 35^2 + b^2.
8. Подставим и упростим: (25b^2 / 6) = 1225 + b^2.
9. Умножим на 6: 25b^2 = 7350 + 6b^2.
10. Переносим все в одну сторону: 25b^2 — 6b^2 — 7350 = 0, то есть 19b^2 — 7350 = 0.
11. Найдем b^2: 19b^2 = 7350, b^2 = 7350 / 19 = 386.84.
12. Найдем b: b = √386.84 ≈ 19.66.
13. Теперь найдем sinB: sinB = противолежащий катет / гипотенуза = AC / c.
14. Найдем c: c = √(AC^2 + BC^2) = √(35^2 + 19.66^2) ≈ √(1225 + 386.84) ≈ √1611.84 ≈ 40.25.
15. Теперь sinB = 35 / 40.25 ≈ 0.868.
Ответ: sinB ≈ 0.868.