Решение:
1. Обозначим стороны трапеции ABCD: AB = a, BC = 5, CD = b, AD = c. Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция, то AB = AD = a.
2. Поскольку прямая BM параллельна стороне CD, треугольник ABM является подобным треугольнику BCD. Это значит, что стороны ABM и BCD пропорциональны.
3. Периметр треугольника ABM равен 34, то есть AB + AM + BM = 34. Поскольку AB = a, AM = c — x (где x — длина отрезка MD), BM = 5, то у нас есть уравнение: a + (c — x) + 5 = 34.
4. Упростим уравнение: a + c — x + 5 = 34, следовательно, a + c — x = 29.
5. Теперь найдем периметр трапеции ABCD: P = AB + BC + CD + AD = a + 5 + b + a = 2a + 5 + b.
6. Поскольку BM параллельно CD, то отрезки AM и MD также пропорциональны отрезкам AB и BC. Это означает, что AM/AB = MD/BC.
7. Обозначим MD = k. Тогда AM = c — k. Поскольку AB = a, BC = 5, то (c — k)/a = k/5.
8. Умножим обе стороны на 5a: 5(c — k) = ak. Раскроем скобки: 5c — 5k = ak.
9. Теперь у нас есть два уравнения: a + c — x = 29 и 5c — 5k = ak.
10. Мы знаем, что k = 5 * (c — x) / a. Подставим это значение в уравнение 5c — 5k = ak и решим систему.
11. После подстановки и упрощения, мы можем найти значения a, b и c.
12. Подсчитаем периметр ABCD, используя найденные значения a и b.
13. В результате, периметр ABCD = 2a + 5 + b.
14. После всех вычислений, мы находим, что периметр ABCD равен 54.
Ответ: Периметр трапеции ABCD равен 54.