Решение:
1. Обозначим основания трапеции как a = 30 и b = 56. Периметр P = 138.
2. Обозначим боковые стороны трапеции как c. Поскольку трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны, то P = a + b + 2c.
3. Подставим известные значения в формулу периметра: 138 = 30 + 56 + 2c.
4. Упростим уравнение: 138 = 86 + 2c.
5. Выразим 2c: 2c = 138 — 86 = 52.
6. Найдем c: c = 52 / 2 = 26.
7. Теперь у нас есть все стороны трапеции: a = 30, b = 56, c = 26.
8. Для нахождения угла воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим острый угол как α.
9. В равнобедренной трапеции проведем высоту h из верхнего основания к нижнему. Обозначим точки: A, B — основания, C, D — боковые стороны, H — основание высоты.
10. Тогда AH = BH = (b — a) / 2 = (56 — 30) / 2 = 13.
11. Теперь можем найти высоту h с помощью теоремы Пифагора: c^2 = h^2 + AH^2.
12. Подставим значения: 26^2 = h^2 + 13^2.
13. Упростим: 676 = h^2 + 169.
14. Найдем h^2: h^2 = 676 — 169 = 507.
15. Найдем h: h = sqrt(507).
16. Теперь найдем угол α: cos(α) = AH / c = 13 / 26 = 0.5.
17. Угол α = arccos(0.5) = 60 градусов.
Ответ: 60 градусов.