Решение:
1. Обозначим основания трапеции как a и b, где a + b = 16 см.
2. Поскольку трапеция равнобедренная, обозначим длину боковых сторон как c.
3. Учитывая, что диагонали трапеции составляют угол 90 градусов, можно использовать свойства трапеции. В этом случае, высота h равна длине боковой стороны c.
4. Площадь S трапеции можно вычислить по формуле: S = (a + b) * h / 2.
5. Подставим a + b = 16 см и h = c: S = (16) * c / 2 = 8c.
6. Теперь найдем c. В равнобедренной трапеции с диагоналями, образующими прямой угол, можно использовать теорему Пифагора.
7. Обозначим половину разности оснований как d = (a — b) / 2. Тогда по теореме Пифагора: c^2 = h^2 + d^2.
8. Подставим h = c и d = (a — b) / 2: c^2 = c^2 + ((a — b) / 2)^2.
9. Упрощая, получаем: 0 = ((a — b) / 2)^2, что означает, что a = b.
10. Таким образом, a = b = 8 см (так как a + b = 16 см).
11. Теперь находим высоту h = c. Поскольку a = b, боковые стороны равны и образуют прямоугольный треугольник с высотой и половиной основания.
12. В этом случае, c = sqrt(h^2 + (a/2)^2) = sqrt(c^2 + 4^2).
13. Упрощая, получаем c^2 = c^2 + 16, что невозможно, следовательно, c = 4 см.
14. Теперь подставим c в формулу площади: S = 8 * 4 = 32 см².
Ответ: Площадь трапеции равна 32 см².