Решение:
1. Обозначим равные стороны равнобедренного треугольника ABC как AB и BC. Высота BD делит основание AC на две равные части, то есть AD = DC.
2. Точка K находится на высоте BD, следовательно, отрезок BK перпендикулярен основанию AC.
3. Рассмотрим треугольники AKB и BKC. Поскольку BK перпендикулярен AC, то угол AKB равен углу BKC (оба равны 90 градусам).
4. Также, поскольку AB = BC (по определению равнобедренного треугольника), и отрезки AD и DC равны, то треугольники AKB и BKC имеют равные стороны: AK = KC (так как K находится на высоте BD, и отрезки AK и KC равны по определению высоты).
5. Таким образом, мы имеем два равных угла (угол AKB = угол BKC) и равные стороны (AK = KC).
6. По признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними) треугольники AKB и BKC равны.
7. Следовательно, треугольник AKC является равнобедренным, так как его стороны AK и KC равны.
Таким образом, мы доказали, что треугольник AKC равнобедренный.